Question

4．已知$|{\overrightarrow a}$|=1，$|{\overrightarrow b}$|=2，$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夾角為120°，$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$=$\overrightarrow 0$，則$\overrightarrow a$與$\overrightarrow c$的夾角為$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 由已知得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-1，$\overrightarrow{c}=-（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$，求出|$\overrightarrow{c}$|，再由cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|}$=$\frac{\overrightarrow{a}•（-\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}{2}$求解．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為120°，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|cos120°=-1，由$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$=$\overrightarrow 0$，
得到$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=-\overrightarrow{c}$，
∴|$\overrightarrow{c}$|=|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{4}$=2，
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|}$=$\frac{\overrightarrow{a}•（-\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}{2}$=0，
∴$\overrightarrow a$與$\overrightarrow c$的夾角為$\frac{π}{2}$．
故答案為：$\frac{π}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積公式的運(yùn)用求向量的夾角．關(guān)鍵是公式的熟練運(yùn)用，是中檔題．