【題目】平行六面體中,以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1,且兩兩夾角為.
(1)求的長(zhǎng);
(2)求異面直線與夾角的余弦值.
【答案】(1)AC1的長(zhǎng)為;(2)AC與BD1夾角的余弦值為。
【解析】
試題(1)記=a,=b,=c,并將其作為一組基底,利用空間向量的基本定理表示出,然后利用向量的模長(zhǎng)計(jì)算公式及數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解;(2)利用向量夾角求兩條異面直線夾角,但注意向量夾角為銳角或直角時(shí)兩者相等,當(dāng)向量夾角為鈍角時(shí),兩者互補(bǔ)。
試題解析:(1)記=a,=b,=c,
則|a|=|b|=|c|=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,
∴a·b=b·c=c·a=.
||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=1+1+1+2×=6,
∴||=,即AC1的長(zhǎng)為.
(2)=b+c-a,=a+b,∴||=,||=,
·=(b+c-a)·(a+b)=b2-a2+a·c+b·c=1.
∴cos〈,〉==.
∴AC與BD1夾角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C:的焦點(diǎn)為F,拋物線C與直線l1:的一個(gè)交點(diǎn)為,且(為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(II)不過原點(diǎn)的直線l2與l1垂直,且與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A,B,若線段AB的中點(diǎn)為P,且|OP|=|PB|,求△FAB的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】網(wǎng)約車的興起豐富了民眾出行的選擇,為民眾出行提供便利的同時(shí)也解決了很多勞動(dòng)力的就業(yè)問題,據(jù)某著名網(wǎng)約車公司“滴滴打車”官網(wǎng)顯示,截止目前,該公司已經(jīng)累計(jì)解決退伍軍人轉(zhuǎn)業(yè)為兼職或?qū)B毸緳C(jī)三百多萬人次,梁某即為此類網(wǎng)約車司機(jī),據(jù)梁某自己統(tǒng)計(jì)某一天出車一次的總路程數(shù)可能的取值是20、22、24、26、28、,它們出現(xiàn)的概率依次是、、、、t、.
(1)求這一天中梁某一次行駛路程X的分布列,并求X的均值和方差;
(2)網(wǎng)約車計(jì)費(fèi)細(xì)則如下:起步價(jià)為5元,行駛路程不超過時(shí),租車費(fèi)為5元,若行駛路程超過,則按每超出(不足也按計(jì)程)收費(fèi)3元計(jì)費(fèi).依據(jù)以上條件,計(jì)算梁某一天中出車一次收入的均值和方差.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在上的最小值的表達(dá)式;
(2)若函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】高鐵、網(wǎng)購、移動(dòng)支付和共享單車被譽(yù)為中國的“新四大發(fā)明”,彰顯出中國式創(chuàng)新的強(qiáng)勁活力,某移動(dòng)支付公司在我市隨機(jī)抽取了100名移動(dòng)支付用戶進(jìn)行調(diào)查,得到如下數(shù)據(jù):
每周移動(dòng)支付次數(shù) | 1次 | 2次 | 3次 | 4次 | 5次 | 6次及以上 |
男 | 4 | 3 | 3 | 7 | 8 | 30 |
女 | 6 | 5 | 4 | 4 | 6 | 20 |
合計(jì) | 10 | 8 | 7 | 11 | 14 | 50 |
(1)在每周使用移動(dòng)支付超過3次的樣本中,按性別用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取5名用戶.
①求抽取的5名用戶中男、女用戶各多少人;
②從這5名用戶中隨機(jī)抽取2名用戶,求抽取的2名用戶中既有男用戶又有女用戶的概率.
(2)如果認(rèn)為每周使用移動(dòng)支付次數(shù)超過3次的用戶“喜歡使用移動(dòng)支付”,能否在犯錯(cuò)誤概率不超過的前提下,認(rèn)為“喜歡使用移動(dòng)支付”與性別有關(guān)?
附表及公式:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在海岸處,發(fā)現(xiàn)北偏東方向,距離為海里的處有一艘走私船,在處北偏西方向,距離為海里的處有一艘緝私艇奉命以海里/時(shí)的速度追截走私船,此時(shí),走私船正以海里/時(shí)的速度從處向北偏東方向逃竄.
(1)問船與船相距多少海里?船在船的什么方向?
(2)問緝私艇沿什么方向行駛才能最快追上走私船?并求出所需時(shí)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形, , 和均為等邊三角形,且平面平面,點(diǎn)為的中點(diǎn).
(1)求證: 平面;
(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求的定義域;
(2)試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,并給出證明;
(3)若在區(qū)間上恒取正值,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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