Question

如圖，雙曲線C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，拋物線C₂的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)為F₂．過F₁的圓x²+y²=a²的一切線交拋物線C₂于點(diǎn)A，切點(diǎn)為M．若線段F₁A的中點(diǎn)恰為M，則雙曲線C₁的離心率為（　　）

• A、

  1+ 5

  2

• B、

  1+ 3

  2

• C、

  5

  2

• D、

  3+ 5

  3

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)題意，求出AF₂的大小以及點(diǎn)A的坐標(biāo)，又點(diǎn)A在拋物線C2：y2=4cx上，求出a、c的關(guān)系，從而得出離心率e的大�。�

解答： 解：在△F₁AF₂中，MO為中位線，且F₁M=b，OM=a，
∴AF₂=2a；
由拋物線的定義，設(shè)A（x，y），
∴x+c=2a，
∴x=2a-c；
又∵點(diǎn)A到x軸的距離為

4b2-4a2

（由拋物線的定義，過點(diǎn)A做拋物線準(zhǔn)線的垂線得到），
∴點(diǎn)A(2a-c，

4b2-4a2

)；
∵點(diǎn)A在拋物線C2：y2=4cx上，
∴4b²-4a²=4c（2a-c），
即c²-2a²=c（2a-c），
∴c²-ac-a²=0，
∴e²-e-1=0；
又∵e＞1，
∴解得e=

1+ 5

2

．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓，以及直線與圓錐曲線的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)結(jié)合圖形以及圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)進(jìn)行解答，是綜合題目．