【題目】已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1= an+ (n∈N*).
(1)求最小的正實數(shù)M,使得對任意的n∈N* , 恒有0<an≤M.
(2)求證:對任意的n∈N* , 恒有 ≤an

【答案】
(1)解:最小的正實數(shù)M=1,即使得對任意的n∈N*,恒有0<an≤1.

下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明:①當(dāng)n=1時,a1=1成立;

②假設(shè)n=k(k∈N*)時,對任意的k∈N*,恒有0<ak≤1.

則n=k+1時,易知k<2k,

∴0<ak+1= + + =1,

因此當(dāng)n=k+1時假設(shè)成立,

綜上可得:最小的正實數(shù)M=1,使得對任意的n∈N*,恒有0<an≤M


(2)證明:先證明右邊:由(1)可得:0<an≤1.

∴an+1= an+ =an ≤an )≤an )≤an )= an,(2n≤2n).

∴an = ,因此右邊成立.

證明左邊:下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明:①當(dāng)n=1時,a1=1= ,成立;

②假設(shè)n=k(k∈N*)時,對任意的k∈N*,恒有ak

則n=k+1時,要證明:ak+1 ,

又ak+1= + ,

∴只要證明: + ,

化為:k(5×2k+4) +2kak﹣182k≥0,

解出:ak =

因此當(dāng)n=k+1時也成立,

綜上①②可得:左邊成立.

因此:對任意的n∈N*,恒有 ≤an


【解析】(1)最小的正實數(shù)M=1,即使得對任意的n∈N* , 恒有0<an≤1.利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明.(2)先證明右邊:由(1)可得:0<an≤1.通過放縮:an+1= an+ =an ≤an an , (2n≤2n).可得:an .證明左邊:利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可得出.
【考點精析】掌握數(shù)列的前n項和和數(shù)列的通項公式是解答本題的根本,需要知道數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系;如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式.

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