Question

設(shè)公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，且a₂，a₅，a₁₄構(gòu)成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足＋＋…＋＝1－，n∈N^*，求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）T_n＝3－.

試題分析：（Ⅰ）主要利用等差、等比的概念來(lái)求；（Ⅱ）可以構(gòu)造新數(shù)列，則＋＋…＋＝1－為其前項(xiàng)和，通過(guò)可求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)可求，然后對(duì)其求和；
試題解析：(Ⅰ) 設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），則
∵a₂，a₅，a₁₄構(gòu)成等比數(shù)列，
∴＝a₂a₁₄，
即(1＋4d)²＝(1＋d)(1＋13d)，
解得d＝0（舍去），或d＝2．
∴a_n＝1＋(n－1)×2＝2n－1．                    4分
（Ⅱ）由已知＋＋…＋＝1－，n∈N^*，
當(dāng)n＝1時(shí)，＝；
當(dāng)n≥2時(shí)，＝1－－(1－)＝．
∴＝，n∈N^*．
由（Ⅰ），知a_n＝2n－1，n∈N^*，
∴b_n＝，n∈N^*．
又T_n＝＋＋＋…＋，
T_n＝＋＋…＋＋．
兩式相減，得
T_n＝＋(＋＋…＋)－＝－－，
∴T_n＝3－．                         12分