Question

1．已知函數(shù)f（x）=2+$\frac{1}{a}-\frac{1}{{{a^2}x}}$（實數(shù)a≠0），
（1）若m＜n＜0，請判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，n]上的單調(diào)性并證明；
（2）若$\frac{8}{7}$≤m＜n且a＞0時，函數(shù)f（x）的定義域和值域都[m，n]，求n-m的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為方程f（x）=x有兩個相異的正實數(shù)根m，n，再由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系和配方法求n-m的最大值．

解答 解：（1）不妨設(shè)m≤x₁＜x₂≤n＜0，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{a^2}$（$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$）=$\frac{1}{a^2}$•$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵m≤x₁＜x₂≤n＜0，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
則f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
因此，f（x）在[m，n]上單調(diào)遞增；
（2）f（x）的定義域和值域都是[m，n]，且函數(shù)f（x）遞增，
所以，$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=m}\\{f（n）=n}\end{array}\right.$，即方程f（x）=x有兩個相異的正實數(shù)根m，n，
因此，2+$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a^2x}$=x，整理得，a²x²-（2a+1）ax+1=0，---①
根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，
|m-n|=$\frac{\sqrt{（2a+1）^2a^2-4a^2}}{a^2}$=$\sqrt{-3（\frac{1}{a}-\frac{2}{3}）^2+\frac{16}{3}}$，
當(dāng)a=$\frac{3}{2}$時，|m-n|_max=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
經(jīng)檢驗，當(dāng)a=$\frac{3}{2}$時，方程①有兩相異正實根，符合題意，
因此，n-m的最大值為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的證明和應(yīng)用，利用定義法以及根據(jù)一元二次方程的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．