Question

設(shè)M為曲線C上任意一點，F(xiàn)（l，0）為定點，已知點M到直線x=4的距離等于2|MF|．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l是圓x²+y²=2的任意一條切線，且與曲線C相交于A、B兩點，O為坐標原點．試推斷是否存在直線l，使

OA

•

OB

=1？若存在，求出直線z的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)點M（x，y），由已知|x-4|=2

(x-1)2+y2

，由此能求出曲線C的方程．
（Ⅱ）①設(shè)l的方程為y=kx+b，由直線l與圓x²+y²=2相切，得b²=2（k²+1），把y=kx+b代入3x²+4y²=12，得（4k²+3）x²+8kbx+4b²-12=0，由

OA

•

OB

=1，得2k²+1=0，無解．當直線l的斜率不存在時，

OA

•

OB

=

1

2

．由此得到不存在直線l滿足條件．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)點M（x，y），由已知|x-4|=2

(x-1)2+y2

，
則（x-4）²=4[（x-1）²+y²]，
整理，得3x²+4y²=12，
∴曲線C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）①當直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為y=kx+b，
∵直線l與圓x²+y²=2相切，則

|b|

1+k2

=

2

，
∴b²=2（k²+1），
把y=kx+b代入3x²+4y²=12，得3x²+4（kx+b）²=12，
即（4k²+3）x²+8kbx+4b²-12=0，
設(shè)點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=-

8kb

4k2+3

，x1x2=-

4b2-12

4k2+3

，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+b）（kx₂+b）
=kb（x₁+x₂）+（k²+1）x₁x₂+b²
=-

8k2b2

4k2+3

+

(k2+1)(4b2-12)

4k2+3

+b²
=

7b2-12(k2+1)

4k2+3

=

2(k2+1)

4k2+3

，
令

2(k2+1)

4k2+3

=1，則4k²+3=2k²+2，
即2k²+1=0，無解．
②當直線l的斜率不存在時，其方程為x=±

2

，
代入

x2

4

+

y2

3

=1，解得y=±

6

2

，
此時

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=2-

6

4

=

1

2

，
綜上所述，不存在直線l滿足條件．

點評：本題考查曲線方程的求法，考查滿足條件的直線方程是否存在的判斷與證明，解題時要認真審題，注意向量數(shù)量積的合理運用．