Question

某校設(shè)計了一個實驗考察方案：考生從6道備選題中一次性隨機抽取3道題，按照題目要求獨立完成全部實驗操作．規(guī)定：至少正確完成其中2道題的便可通過．已知6道備選題中考生甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都是

2

3

，且每題正確完成與否互不影響．
（Ⅰ）求甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的概率分布列，并計算其數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）請分析比較甲、乙兩考生的實驗操作能力．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù),極差、方差與標準差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）設(shè)考生甲、乙正確完成題數(shù)分別為ξ，η，則ξ取值分別為1，2，3，η取值分別為0，1，2，3．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的概率分布列及其數(shù)學(xué)期望．
（Ⅱ）甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的數(shù)學(xué)期望相同，分別求出方差，由Dξ＜Dη，由此得到甲考生的實驗操作能力更好．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)考生甲、乙正確完成題數(shù)分別為ξ，η，
則ξ取值分別為1，2，3，η取值分別為0，1，2，3．
P=（ξ=1）=

C 1 4 C 2 2

C 3 6

=

1

5

，
P=（ξ=2）=

C 2 4 C 1 2

C 3 6

=

3

5

，
P=（ξ=3）=

C 3 4 C 0 2

C 3 6

=

1

5

，
∴考生甲正確完成題數(shù)ξ的分布列為：

ξ	1	2	3
P	1 5	3 5	1 5

甲考生正確完成題數(shù)的數(shù)學(xué)期望：
Eξ=1×

1

5

+2×

3

5

+3×

1

5

=2．
∵P（η=k）=

C

k 3

(

2

3

)k(

1

3

)3-k，k=0，1，2，3，
P（η=0）=

C

0 3

(

1

3

)3=

1

27

，
P（η=1）=

C

1 3

(

2

3

)(

1

3

)2=

6

27

，
P（η=2）=

C

2 3

（

2

3

）²•

1

3

12

27

，
P（η=3）=

C

3 3

(

2

3

)3=

8

27

，
∴考生乙正確完成題數(shù)η分布列為：

η	0	1	2	3
P	1 27	6 27	12 27	8 27

乙考生正確完成題數(shù)的數(shù)學(xué)期望：
Eη=0×

1

27

+1×

6

27

+2×

12

27

+3×

8

27

=2．
（Ⅱ）甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的數(shù)學(xué)期望相同，
Dξ=(2-1)2•

1

5

+(2-2)2•

3

5

+(2-3)2•

1

5

=

2

5

，
Dη=(2-0)2•

1

27

+(2-1)2•

6

27

+(2-2)2•

12

27

+(2-3)2•

8

27

=

2

3

，
∴Dξ＜Dη，
∴甲考生的實驗操作能力更好．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查甲、乙兩人實驗操作能力好壞的比較，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．