Question

7．關(guān)于x的不等式（$\frac{1}{2}$）^2x≤2^-1-x的解集為A，函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，且經(jīng)過(guò)（-3，-1）和（1，2）兩點(diǎn)，集合B={x|f（x）＜-1或f（x）＞2}．
（1）求集合A；
（2）求集合B；
（3）若x∈A且a＞1，求函數(shù)h（x）=log_a（a²x）•log_a（ax）的最值．

Answer 1

分析 （1）直接利用指數(shù)不等式求解集合A；
（2）通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性可求得集合B．
（3）由題設(shè)條件，推導(dǎo)出f（x）的二次函數(shù)的表達(dá)式，通過(guò)二次函數(shù)的性質(zhì)能求出結(jié)果．

解答 解：（1）（$\frac{1}{2}$）^2x≤2^-1-x，
?2x≥1+x?x≥1，
∴A=[1，+∞）．
（2）∵函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)，且過(guò)（-3，-1）和（1，2）兩點(diǎn)，
由A={x|-1＞f（x）或f（x）＞2}得：f（-3）＞f（x）或f（x）＞f（1）
解得x＜-3或x＞1，
∴B=（-∞，-3）∪（1，+∞）
（3）x∈A且a＞1，求函數(shù)h（x）=log_a（a²x）•log_a（ax）=（1+log_ax）•（2+log_ax）
=（log_ax）²+3log_ax+2
=（log_ax+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$．x∈[1，+∞）．a(chǎn)＞1，
log_ax≥0，
函數(shù)h（x）=log_a（a²x）•log_a（ax）的最小值為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，指數(shù)不等式的解法，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化分析與運(yùn)算能力，屬于難題．