Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=2，a_n+1a_n=2a_n-a_n+1，n∈N^*．
（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過移項整理得到a_n+1=，求得，即可證明數(shù)列為等比數(shù)列，然后求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）法一：利用a_i（a_i-1）=（i=1，2，…，n）通過基本不等式，裂項法求出，再利用放縮法得到結果．
法二：和法一，類似，只是裂項法前，用的是放縮法，然后裂項法，求和放縮法推出證明的結果．
解答：解：（1）注意到a_n+1≠0，所以原式整理得：a_n+1=
由a₁=2，a_n+1=得對n∈N^*，a_n≠0．
從而由a_n+1=，兩邊取倒數(shù)得：∴數(shù)列是首項為-，公比為的等比數(shù)列∴∴．∴a_n=故數(shù)列{a_n}的通項公式是a_n=
…（4分）
（2）證法1：∵a_n=，∴a_i（a_i-1）=（i=1，2，…，n）當i≥2時，∵a_i（a_i-1）===
…（8分）∴
=2+1-＜3…（12分）
證法2：∵a_n=，∴a_i（a_i-1）=（i=1，2，…，n）當i≥2時，∵a_i（a_i-1）=…（8分）∴
=
＜2+＜3…（12分）
點評：本題是難題，考查數(shù)列遞推關系式的應用，數(shù)列的證明，放縮法與裂項法的應用，考查分析問題解決問題的能力，計算能力以及轉化思想的應用．