Question

20．下列函數(shù)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（　�。�

• A． $y=x+\frac{1}{x}$
• B． y=xcosx
• C． y=x³
• D． y=lnx

Answer 1

分析 對(duì)選項(xiàng)一一加以分析，運(yùn)用奇偶性和單調(diào)性的定義和常見函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷A，B，D錯(cuò)，C對(duì)．

解答 解：對(duì)于A．函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0，x∈R}，f（-x）=-x+$\frac{1}{-x}$=-（x+$\frac{1}{x}$）=-f（x），函數(shù)為奇函數(shù)；
y′=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，則函數(shù)在（1，+∞），（-1，0）遞增，在（0，1），（-∞，-1）遞減，則A不滿足條件；
對(duì)于B．y=xcosx的定義域?yàn)镽，f（-x）=-xcos（-x）=-xcosx=-f（x），函數(shù)為奇函數(shù)；由f（0）=f（$\frac{π}{2}$）=0，
則函數(shù)不為增函數(shù)，則B不滿足條件；
對(duì)于C．函數(shù)的定義域?yàn)镽，f（-x）=（-x）³=-x³=-f（x），函數(shù)為奇函數(shù)；由y′=3x²≥0，函數(shù)在R上遞增，
即為增函數(shù)，則C滿足條件；
對(duì)于D．函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)，定義域?yàn)椋?，+∞），不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則不具奇偶性，則D不滿足條件．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，主要通過定義和常見函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性判斷，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．