Question

8．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n 點(diǎn)（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$），（n∈N^*），均在函數(shù)y=3x-18的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）求當(dāng)S_n取最小值時(shí)n的值．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$），（n∈N^*），均在函數(shù)y=3x-18的圖象上．可得S_n=3n²-18n，利用當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1即可得出．
（2）令a_n≤0，即可得出．

解答 解：（1）∵點(diǎn)（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$），（n∈N^*），均在函數(shù)y=3x-18的圖象上．
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=3n-18，
∴S_n=3n²-18n，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=-15；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=3n²-18n-[3（n-1）²-18（n-1）]=6n-21．
當(dāng)n=1時(shí)也成立，
∴a_n=6n-21．
（2）令a_n≤0，
解得$n≤\frac{7}{2}$，
∴當(dāng)S_n取最小值時(shí)n=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的單調(diào)性、遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．