Question

16．已知f（x）=x²-2bx+c（b，c∈R）的一個(gè)零點(diǎn)為1．
（1）若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，f（4-x）=f（x）恒成立，求f（x）的另一個(gè)零點(diǎn)；
（2）若f（x）在區(qū)間[0，4]上的最小值為-4，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，f（4-x）=f（x）恒成立，f（1）=0，可得f（3）=0；
（2）若f（x）在區(qū)間[0，4]上的最小值為-4，可求得b，c的值，進(jìn)而得到f（x）的解析式．

解答 解：（1）∵對(duì)任意實(shí)數(shù)x，f（4-x）=f（x）恒成立，f（1）=0，
故f（4-1）=f（1）=f（3）=0，
故f（x）的另一個(gè)零點(diǎn)為3；
（2）函數(shù)f（x）=x²-2bx+c的圖象是開(kāi)口朝上，且以直線x=b為對(duì)稱軸的拋物線，
若b≤0，則在區(qū)間[0，4]上，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x=0時(shí)f（x）取最小值c=-4，
此時(shí)f（1）=1-2b-4=0．
解得：b=$-\frac{3}{2}$，故f（x）=x²+3x-4；
若0＜b＜4，則在區(qū)間[0，b上，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，在區(qū)間[b，4]上，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x=b時(shí)f（x）取最小值c-b²=-4，
此時(shí)f（1）=1-2b+c=0．
解得：b=3，或b=-1（舍去），故f（x）=x²-6x+5；
若b≥4，則在區(qū)間[0，4]上，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
當(dāng)x=4時(shí)f（x）取最小值16-8b+c=-4，
此時(shí)f（1）=1-2b+c=0．解得：b=$\frac{19}{6}$，不滿足條件；
綜上所述，f（x）=x²+3x-4，或f（x）=x²-6x+5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．