Question

如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，

（I）求證：；

（II）設(shè)線段的中點(diǎn)為，在直線上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（III）求二面角的正切值。

Answer 1

解法一：（Ⅰ）因?yàn)槠矫?sub>⊥平面,平面，平面平面，所以⊥平面所以⊥.因?yàn)?sub>為等腰直角三角形，  ，所以又因?yàn)?sub>，所以，即⊥,所以⊥平面。 

（Ⅱ）存在點(diǎn),當(dāng)為線段AE的中點(diǎn)時(shí)，PM∥平面 取BE的中點(diǎn)N，連接AN,MN，則MN∥＝∥＝PC，所以PMNC為平行四邊形，所以PM∥CN， 因?yàn)镃N在平面BCE內(nèi)，PM不在平面BCE內(nèi)， 所以PM∥平面BCE        

（Ⅲ）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD，作FG⊥AB,交BA的延長(zhǎng)線于G，則FG∥EA。從而，F(xiàn)G⊥平面ABCD，作GH⊥BD于G，連結(jié)FH，則由三垂線定理知，BD⊥FH，因此，∠AEF為二面角F-BD-A的平面角，因?yàn)镕A=FE, ∠AEF=45°,所以∠AFE=90°，∠FAG=45°.設(shè)AB=1,則AE=1,AF=.FG=AF·sinFAG=在Rt△FGH中，∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,GH=BG·sinGBH=·=在Rt△FGH中，tanFHG= = 故二面角F-BD-A的正切值為_。  

解法二： (Ⅰ)因?yàn)椤鰽BE為等腰直角三角形,AB=AE,所以AE⊥AB.又因?yàn)槠矫鍭BEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF,平面ABEF∩平面ABCD=AB,所以AE⊥平面ABCD.所以AE⊥AD.因此,AD,AB,AE兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立 如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.設(shè)AB=1,則AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).

因?yàn)镕A=FE, ∠AEF = 45°,所以∠AFE= 90°.從而，.所以,,.,.所以EF⊥BE, EF⊥BC.因?yàn)锽E平面BCE,BC∩BE=B ,所以EF⊥平面BCE. (Ⅱ)存在點(diǎn)M,當(dāng)M為AE中點(diǎn)時(shí),PM∥平面BCE.

 M (0,0，),P ( 1, ,0 ).從而=,于是·=·=0， 所以PM⊥FE,又EF⊥平面BCE，直線PM不在平面BCE內(nèi)， 故PMM∥平面BCE.              

 (Ⅲ)設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為，并設(shè)=（x,y,z）.

 ，             

                 即

取y=1，則x=1，z=3。從而。取平面ABD的一個(gè)法向量為。

。故二面角F—BD—A的余弦值為

故其正切值為_。