Question

設(shè)向量

a

=（

3

sinx，cosx），向量

b

=（cosx，-cosx），記f（x）=

a

•

b

+

1

2

（1）寫出函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[

π

6

，

π

2

]求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值時對應(yīng)的x的值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用向量的數(shù)量積你的坐標(biāo)表示和二倍角的正弦、余弦公式和兩角差的正弦公式，化簡f（x），再由周期公式即可得到；
（2）由x的范圍，可得2x-

π

6

的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的值域，即可得到所求最大值和對應(yīng)的x的值．

解答： 解：（1）f（x）=

a

•

b

+

1

2

=

3

sinxcosx-cos²x+

1

2

=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

+

1

2

=sin（2x-

π

6

）．
則f（x）的最小正周期T=

2π

|ω|

=

2π

2

=π．
（2）由x∈[

π

6

，

π

2

]，則2x-

π

6

∈[

π

6

，

5π

6

]，
當(dāng)2x-

π

6

=

π

2

即x=

π

3

時，
函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值1．

點評：本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，主要考查二倍角公式和兩角差的正弦公式，考查周期公式及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．