Question

已知點P是⊙M：（x+1）²+y²=16上的任意一點，點N（1，0），線段PN的垂直平分線l和半徑MP相交于點Q
（1）當點P在圓上運動時，求點Q的軌跡方程；
（2）已知直線l′與點Q的軌跡交于點A，B，且直線l′的方程為y=kx+

3

（k＞0），若O為坐標原點，求△OAB面積的最大值．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）連結(jié)QN，由橢圓定義知點Q的軌跡是以M（-1，0），N（1，0）為焦點，長軸長為2a=4，短軸長2b=2

3

的橢圓，由此能求出點Q的軌跡方程．
（Ⅱ）聯(lián)立

y=kx+ 3 x2 4 + y2 3 =1

，整理，得(4k2+3)x2+8

3

kx=0，由此利用橢圓弦長公式、點到直線的距離公式，結(jié)合已知條件能求出△OAB面積的最大值．

解答： 解：（1）如圖，如圖，連結(jié)QN，
∵l是線段PN的垂直平分線，∴|QP|=|QN|，
∵|MP|=|MQ|+|QP|，∴|MQ|+|NQ|=4，
由橢圓定義知點Q的軌跡是以M（-1，0），N（1，0）為焦點，
長軸長為2a=4，短軸長2b=2

3

的橢圓，
其方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）聯(lián)立

y=kx+ 3 x2 4 + y2 3 =1

，整理，得(4k2+3)x2+8

3

kx=0，
解得x₁=0，x2=-

8 3 k

4k2+3

，
∵k＞0，
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•|-

8 3 k

4k2+3

|=

1+k2

•

8 3 k

4k2+3

，
原點O到直線l′的距離為d=

3

1+k2

，
∴S_△OAB=

1

2

1+k2

•

8 3 k

4k2+3

•

3

1+k2

=

12

4k2+3

=

12

4k+ 3 k

≤

12

4 3

=

3

，
當且僅當4k=

3

k

，即k=

3

2

時，
△OAB面積的最大值為2

3

．

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意橢圓弦長公式、點到直線的距離公式的合理運用．