Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是首項為6，公差為1的等差數(shù)列；S_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，且S_n=n²+2n
（1）求{a_n}及{b_n}的通項公式a_n和b_n；
（2）若對任意的正整數(shù)n，不等式恒成立，求正數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）a_n=a₁+（n-1）d=6+n-1=n+5
又當n=1時，b₁=S₁=3；
當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=n²+2n-（n-1）²-2（n-1）=2n+1
上式對n=1也成立，
∴b_n=2n+1（n∈N^*），總之，a_n=n+5，b_n=2n+1
（2）將不等式變形并把a_n=n+5代入得：，
∴
∴
又∵
∴，即g（n+1）＞g（n）
∴g（n）隨n的增大而增大，，
∴
分析：（1）根據(jù)數(shù)列{a_n}是首項為6，公差為1的等差數(shù)列，利用通項公式可寫結(jié)論；利用再寫一式，兩式相減的方法，可寫數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）用分離參數(shù)法，表示出a，進而可構(gòu)造函數(shù)，驗證其單調(diào)增，從而可得函數(shù)的最小值，故可求正數(shù)a的取值范圍．
點評：本題以數(shù)列為載體，考查等差數(shù)列的通項，考查分離參數(shù)法研究恒成立問題，同時考查函數(shù)的思想解決數(shù)列問題．