Question

15．已知函數(shù)f（x）滿足f（x）+1=$\frac{1}{f（x+1）}$，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x，若在區(qū)間（-1，1]上方程f（x）-mx-m=0有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{2}$]
• B． （0，$\frac{1}{2}$）
• C． （0，$\frac{1}{3}$]
• D． （0，$\frac{1}{3}$）

Answer 1

分析 設(shè)x∈（-1，0），則（x+1）∈（0，1），由于當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x，可得f（x+1）=x+1．利用f（x）+1=$\frac{1}{f（x+1）}$，可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，x∈[0，1]}\\{\frac{1}{x+1}-1，x∈（-1，0）}\end{array}\right.$，方程f（x）-mx-x=0，化為f（x）=mx+m，畫出圖象y=f（x），y=m（x+1），M（1，1），N（-1，0）．可得k_MN=$\frac{1}{2}$．即可得出．

解答 解：設(shè)x∈（-1，0），則（x+1）∈（0，1），
∵當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x，
∴f（x+1）=x+1．
∵f（x）+1=$\frac{1}{f（x+1）}$，
∴f（x）=$\frac{1}{f（x+1）}$-1=$\frac{1}{x+1}$-1，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，x∈[0，1]}\\{\frac{1}{x+1}-1，x∈（-1，0）}\end{array}\right.$，
方程f（x）-mx-x=0，化為f（x）=mx+m，
畫出圖象y=f（x），y=m（x+1），M（1，1），N（-1，0）．
k_MN=$\frac{0-1}{-1-1}$=$\frac{1}{2}$．
∵在區(qū)間（-1，1]上方程f（x）-mx-x=0有兩個(gè)不同的實(shí)根，
∴$0＜m≤\frac{1}{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程的實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題、函數(shù)的圖象，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．