Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+

2

x

（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）在定義域內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，即可求出曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）在定義域內(nèi)是減函數(shù)，f′(x)=

1

x

-a-

2

x2

≤0在（0，+∞）上恒成立，即a≥

1

x

-

2

x2

=

x-2

x2

在（0，+∞）上恒成立，求最值，即可求a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=lnx-x+

2

x

∴f（1）=1，
∴切點(diǎn)為（1，1）
∵f′(x)=

1

x

-1-

2

x2

=

-x2+x-2

x2

∴f′（1）=-2
∴切線方程為y-1=-2（x-1），即2x+y-3=0．
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′(x)=

1

x

-a-

2

x2

∵函數(shù)y=f（x）在定義域內(nèi)是減函數(shù)
∴f′(x)=

1

x

-a-

2

x2

≤0在（0，+∞）上恒成立，即a≥

1

x

-

2

x2

=

x-2

x2

在（0，+∞）上恒成立，
設(shè)g(x)=

x-2

x2

，x∈（0，+∞），g′(x)=

x2-(x-2)•2x

x4

=

-x2+4x

x4

令g′（x）=0得x₁=0（舍去），x₂=4
∵x∈（0，4）時(shí)g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，x∈（4，+∞）時(shí)g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減
∴g(x)max=g(4)=

1

8

，
∴a≥

1

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．