Question

如圖，直線y=-x+4與兩坐標(biāo)軸分別相交于A、B點，點M（x，y）是線段AB上任意一點（A、B兩點除外），過M分別作MC⊥OA于點C，MD⊥OB于D．
（1）當(dāng)點M在AB上運(yùn)動時，你認(rèn)為四邊形OCMD的周長是否發(fā)生變化？并說明理由．
（2）設(shè)四邊形OCMD面積S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)四邊形OCMD為正方形時的面積．
（3）當(dāng)四邊形OCMD為正方形時，將四邊形OCMD沿著x軸的正方向移動，設(shè)平移的距離為a（0＜a＜4），求當(dāng)a為多少時正方形OCMD的周長被分為1：3．

Answer 1

考點：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)點M的橫坐標(biāo)為x，則點M的縱坐標(biāo)為-x+4（0＜x＜4，x＞0，-x+4＞0）用坐標(biāo)表示線段的長度則：MC=|-x+4|=-x+4，MD=|x|=x，根據(jù)四邊形的周長計算方法計算即可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點M在AB上運(yùn)動時，四邊形OCMD的周長不發(fā)生變化，總是等于8．
（2）先用x表示四邊形的面積S_{四邊形OCMD}=-（x-2）²+4，再利用四邊形OCMD的面積是關(guān)于點M的橫坐標(biāo)x（0＜x＜4）的二次函數(shù)，并且x=2，可知即當(dāng)點M運(yùn)動到線段AB的中點時，四邊形OCMD為正方形，四邊形OCMD的面積最大且最大面積為4．
（3）正方形OCMD的周長被分為1：3時，2a=

1

4

×8，可得結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)點M的橫坐標(biāo)為x，則點M的縱坐標(biāo)為-x+4（0＜x＜4，-x+4＞0），
則：MC=|-x+4|=-x+4，MD=|x|=x，
∴C_{四邊形OCMD}=2（MC+MD）=2（-x+4+x）=8，
∴當(dāng)點M在AB上運(yùn)動時，四邊形OCMD的周長不發(fā)生變化，總是等于8．
（2）根據(jù)題意得：S_{四邊形OCMD}=MC•MD=（-x+4）•x=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴四邊形OCMD的面積是關(guān)于點M的橫坐標(biāo)x（0＜x＜4）的二次函數(shù)，并且當(dāng)x=2，
即當(dāng)點M運(yùn)動到線段AB的中點時，四邊形OCMD為正方形，四邊形OCMD的面積最大且最大面積為4．
（3）正方形OCMD的周長被分為1：3時，2a=

1

4

×8，∴a=1．

點評：本題結(jié)合四邊形的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，有關(guān)函數(shù)和幾何圖形的綜合題目，要利用幾何圖形的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)把數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合在一起，利用題中所給出的面積和周長之間的數(shù)量關(guān)系求解．