Question

【題目】求所有的正整數(shù)、，使得是完全平方數(shù)．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

由

.

設，）．則

．

又.

設．則

.

于是，是完全平方數(shù)．

下面證明：不存在互質(zhì)的正整數(shù)，，使得是完全平方數(shù)．

假設存在，不妨設是滿足上述要求且使得其和最小的一組正整數(shù)．

因

，

且，知、不能同為偶數(shù)，所以，是奇數(shù)．

故

.

于是，與都是完全平方數(shù)．

由于與都是奇數(shù)，故可設

，

．

從而，，且．

于是，，一奇一偶（不妨設是偶數(shù)）．

記，，，（、、、為兩兩互質(zhì)的正整數(shù)，且、都是奇數(shù)）．由對稱性不妨設．

則由，得

.

又，，整理得

（1）若則

因為是奇數(shù)，所以，由，知是偶數(shù)，是奇數(shù)．

于是，，矛盾．

（2）由

．

又是奇數(shù)，可設

，，．

代入，得．

故正整數(shù)對使得是完全平方數(shù)．

由于，這與的最小性矛盾．

（3）由

，這與矛盾．

（4）由

，

這與矛盾．

綜上，不存在互質(zhì)的正整數(shù)、，使得是完全平方數(shù)．

故不存在正整數(shù)、，使得是完全平方數(shù)．