Question

11．已知二次函數(shù)y=ax²+（16-a³）x-16a²（a＞0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB長度最小值是12．

Answer 1

分析 分別設(shè)出A、B的坐標(biāo)，根據(jù)韋達(dá)定理求出x₁+x₂，x₁x₂，代入|AB|=|x₂-x₁|，求出線段AB的長度即可．

解答 解：設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），
則x₁+x₂=$\frac{{a}^{3}-16}{a}$，x₁ x₂=-16a，
∴|AB|=|x₂-x₁|
=$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{{4x}_{1}x}_{2}}$
=$\sqrt{\frac{{{（a}^{3}-16）}^{2}}{{a}^{2}}-4•（-16a）}$
=$\frac{{a}^{3}+16}{a}$
=a²+$\frac{8}{a}$+$\frac{8}{a}$
≥3$\root{3}{{a}^{2}•\frac{8}{a}•\frac{8}{a}}$
=3×4=12，（當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)，“=”成立），
故答案為：12．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查基本不等式的性質(zhì)，是一道中檔題．