Question

已知冪函數(shù)f（x）=（m-1）²x m2-4m+2在（0，+∞）上單調(diào)遞增，函數(shù)g（x）=2^x-k．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，記f（x），g（x）的值域分別為集合A，B，若A∪B=A，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：冪函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)冪函數(shù)的定義個(gè)性質(zhì)即可求出．
（Ⅱ）根據(jù)冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，分別求出其值域，再根據(jù)A∪B=A，得到關(guān)于k的不等式組，解得即可．

解答： 解：（Ⅰ）依題意得：（m-1）²=1，解得m=0或m=2
當(dāng)m=2時(shí)，f（x）=x^-2在（0，+∞）上單調(diào)遞減，與題設(shè)矛盾，舍去
∴m=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=x²，
當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x），g（x）單調(diào)遞增，
∴A=[1，4]，B=[2-k，4-k]，
∵A∪B=A，
∴B⊆A，
∴

2-k≥1 4-k≤4

⇒0≤k≤1．
故實(shí)數(shù)k的取值范圍事[0，1]

點(diǎn)評：本題考查了冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的定義和性質(zhì)，以及有關(guān)函數(shù)的值域的問題，屬于基礎(chǔ)題．