Question

【題目】如圖，一輛汽車從A市出發(fā)沿海岸一條筆直公路以的速度向東勻速行駛，汽車開(kāi)動(dòng)時(shí)，在A市南偏東方向距A市500km且與海岸距離為300km的海上B處有一艘快艇與汽車同時(shí)出發(fā)，要把一份文件交給這輛汽車的司機(jī)．

（1）快艇至少以多大的速度行駛才能把文件送到司機(jī)手中？

（2）求快艇以最小速度行駛時(shí)的行駛方向與所成角的大小．

（3）若快艇每小時(shí)最快行駛，快艇應(yīng)如何行駛才能盡快把文件交到司機(jī)手中？最快需多長(zhǎng)時(shí)間？

Answer 1

【答案】（1）快艇至少以的速度行駛才能把文件送到司機(jī)手中；（2）快艇以最小速度行駛時(shí)的行駛方向與所成的角為90°；（3）快艇應(yīng)垂直于海岸向北行駛才能盡快把文件交到司機(jī)手中，最快需要4h．

【解析】

(1)畫圖分析,設(shè)后與汽車在C處相遇,再根據(jù)三角形中的關(guān)系分別表示快艇與汽車所經(jīng)過(guò)的路程,再化簡(jiǎn)求得快艇速度與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系,再利用二次不等式的最值分析即可.

(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論分析可得汽車與快艇路程構(gòu)成的三角形中的邊的關(guān)系,進(jìn)而求得時(shí)間即可.

(3)設(shè)快艇以的速度沿行駛,后與汽車在E處相遇,同(1)中的方法求得三角形各邊的關(guān)系分析即可.

（1）如圖所示,設(shè)快艇以的速度從B處出發(fā),沿方向行駛,后與汽車在C處相遇.

在中,,,,為邊上的高,.

設(shè),則,.

由余弦定理,得,

即,

整理得

.

當(dāng),即時(shí),,∴.

即快艇至少以的速度行駛才能把文件送到司機(jī)手中.

（2）由（1）可知,當(dāng)時(shí),在中,

,,,由余弦定理,得,∴.

故快艇以最小速度行駛時(shí)的行駛方向與所成的角為90°.

（3）如圖所示,設(shè)快艇以的速度沿行駛,后與汽車在E處相遇.

在中,,,,.

由余弦定理,得,

解得或（舍去）,

∵當(dāng)時(shí),,,,∴快艇應(yīng)垂直于海岸向北行駛才能盡快把文件交到司機(jī)手中,最快需要4h.