Question

8．已知函數(shù)f（x）=x+a•e^-x．
（Ⅰ）當(dāng)a=e²時(shí)，求f（x）在區(qū)間[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）求證：存在實(shí)數(shù)x₀∈[-3，3]，有f（x₀）＞a．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=e²時(shí)，f（x）=x+e^2-x，x∈[1，3]；f′（x）=1-e^2-x，從而由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性及最值；
（Ⅱ）“存在實(shí)數(shù)x₀∈[-3，3]，有f（x₀）＞a”等價(jià)于f（x）的最大值大于a；且f′（x）=1-ae^-x，從而分當(dāng)a≤0時(shí)，當(dāng)a＞0時(shí)兩大類討論，再在a＞0時(shí)分a≥e³時(shí)，e^-3＜a＜e³時(shí)與0＜a≤e^-3時(shí)討論，從而證明．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=e²時(shí)，f（x）=x+e^2-x，x∈[1，3]；
∵f′（x）=1-e^2-x，由f′（x）=0得x=2；
則x，f′（x），f（x）關(guān)系如下：

x	（1，2）	2	（2，3）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

所以當(dāng)x=2時(shí)，f（x）有最小值為3．
（Ⅱ）證明：“存在實(shí)數(shù)x₀∈[-3，3]，有f（x₀）＞a”等價(jià)于f（x）的最大值大于a．
因?yàn)閒′（x）=1-ae^-x，
所以當(dāng)a≤0時(shí)，x∈[-3，3]，f′（x）＞0，f（x）在（-3，3）上單調(diào)遞增，
所以f（x）的最大值為f（3）＞f（0）=a．
所以當(dāng)a≤0時(shí)命題成立；
當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）=0得x=lna．
則x∈R時(shí)，x，f′（x），f（x）關(guān)系如下：

x	（-∞，lna）	lna	（lna，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

（1）當(dāng)a≥e³時(shí)，lna≥3，f（x）在（-3，3）上單調(diào)遞減，
所以f（x）的最大值f（-3）＞f（0）=a．
所以當(dāng)a≥e³時(shí)命題成立；
（2）當(dāng)e^-3＜a＜e³時(shí)，-3＜lna＜3，
所以f（x）在（-3，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，3）上單調(diào)遞增．
所以f（x）的最大值為f（-3）或f（3）；
且f（-3）＞f（0）=a與f（3）＞f（0）=a必有一成立，
所以當(dāng)e^-3＜a＜e³時(shí)命題成立；
（3）當(dāng)0＜a≤e^-3時(shí)，lna≤-3，
所以f（x）在（-3，3）上單調(diào)遞增，
所以f（x）的最大值為f（3）＞f（0）=a．
所以當(dāng)0＜a≤e^-3時(shí)命題成立；
綜上所述，
對任意實(shí)數(shù)a都存在x∈[-3，3]使f（x）＞a成立．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題及分類討論的思想應(yīng)用，屬于中檔題．