Question

定義：對于函數(shù)f（x），若存在非零常數(shù)M，T，使函數(shù)f（x）對于定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，都有f（x+T）-f（x）=M，則稱函數(shù)f（x）是廣義周期函數(shù)，其中稱T為函數(shù)f（x）的廣義周期，M稱為周距．
（1）證明函數(shù)f（x）=x+（-1）^x（x∈Z）是以2為廣義周期的廣義周期函數(shù)，并求出它的相應周距M的值；
（2）試求一個函數(shù)y=g（x），使f（x）=g（x）+Asin（ωx+φ）（x∈R）（A、ω、φ為常數(shù)，A＞0，ω＞0）為廣義周期函數(shù)，并求出它的一個廣義周期T和周距M；
（3）設函數(shù)y=g（x）是周期T=2的周期函數(shù)，當函數(shù)f（x）=-2x+g（x）在[1，3]上的值域為[-3，3]時，求f（x）在[-9，9]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)的周期性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由已知條件推導出f（x+2）-f（x）═2，由此證明函數(shù)f（x）=x+（-1）^x（x∈Z）是廣義周期函數(shù)，它的周距為2．
（2）設g（x）=kx+b（k≠0），由f(x+

2π

ω

)-f(x)=

2kπ

ω

，推導出f（x）是廣義周期函數(shù)，并能求出并求出它的一個廣義周期T和周距M．
（3）由f（x+2）-f（x）=-4，知f（x）是廣義周期函數(shù)，且T=2，M=-4，由此能求出f（x）在[-9，9]上的最大值和最小值．

解答： （本題滿分（16分）；第（1）小題（4分），第（2）小題（5分），第（3）小題7分）
（1）證明：∵f（x）=x+（-1）^x（x∈Z），
∴f（x+2）-f（x）=[（x+2）+（-1）^x+2]-[x+（-1）^x]=2，（非零常數(shù)）
∴函數(shù)f（x）=x+（-1）^x（x∈Z）是廣義周期函數(shù)，
它的周距為2．（4分）
（2）解：設g（x）=kx+b（k≠0），
則f（x）=kx+b+Asin（ωx+φ）
∵f(x+

2π

ω

)-f(x)=k(x+

2π

ω

)+b+Asin[ω(x+

2π

ω

)+φ]-[kx+b+Asin(ωx+φ)]=

2kπ

ω

（非零常數(shù)） 
∴f（x）是廣義周期函數(shù)，且T=

2π

ω

，M=

2kπ

ω

．（ 9分）
（3）解：∵f（x+2）-f（x）=-2（x+2）+g（x+2）+2x-g（x）=-4，
∴f（x）是廣義周期函數(shù)，且T=2，M=-4．（10分）
設x₁，x₂∈[1，3]滿足f（x₁）=-3，f（x₂）=3，
由f（x+2）=f（x）-4得：
f（x₁+6）=f（x₁+4）-4=f（x₁+2）-4-4
=f（x₁）-4-4-4=-3-12=-15，
又∵f（x+2）=f（x）-4＜f（x），
∴f（x）在區(qū)間[-9，9]上的最小值是x在[7，9]上獲得的，
而x₁+6∈[7，9]，∴f（x）在[-9，9]上的最小值為-15．（ 13分）
由f（x+2）=f（x）-4，
得f（x-2）=f（x）+4，
∴f（x₂-10）=f（x₂-8）+4=f（x₂-6）+4+4=…=f（x₂）+20=23，
又∵f（x-2）=f（x）+4＞f（x），
∴f（x）在區(qū)間[-9，9]上的最大值是x在[-9，-7]上獲得的，
而x₂-10∈[-9，-7]，f（x）在[-9，9]上的最大值為23．（16分）

點評：本題考查廣義周期函數(shù)的證明，考查廣義周期函數(shù)的求法，考查函數(shù)的最大值的求法，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．