Question

換元法求值域：
（1）y=x+

1-x

（2）y=x+

1-x2

（3）y=x+

1-2x2

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令

1-x

=t，（t≤1），則x=1-t²；則y=1-t²+t=-（t-

1

2

）²+

5

4

；從而求解．
（2）令cosa=x，（0≤a≤π），則y=x+

1-x2

=cosa+sina=

2

sin（a+

π

4

）；從而求解．
（3）令

2

2

cosa=x，（0≤a≤π），y=x+

1-2x2

=

2

2

cosa+sina=

6

2

sin（a+θ），（sinθ=

3

3

，cosθ=

6

3

），從而求解．

解答： 解：（1）令

1-x

=t，（t≤1），則x=1-t²；
則y=1-t²+t=-（t-

1

2

）²+

5

4

，
故∵t≤1，
∴-（t-

1

2

）²+

5

4

≤

5

4

；
故函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，

5

4

]；
（2）令cosa=x，（0≤a≤π），
則y=x+

1-x2

=cosa+sina=

2

sin（a+

π

4

）；
∵0≤a≤π，
∴

π

4

≤a+

π

4

≤π+

π

4

；
∴-1≤

2

sin（a+

π

4

）≤

2

；
故函數(shù)的值域?yàn)閇-1，

2

]；
（3）令

2

2

cosa=x，（0≤a≤π），
y=x+

1-2x2

=

2

2

cosa+sina
=

6

2

sin（a+θ），（sinθ=

3

3

，cosθ=

6

3

）．
則-

2

2

≤

6

2

sin（a+θ）≤

6

2

；
故函數(shù)的值域?yàn)閇-

2

2

，

6

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了換元法求函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．