Question

在某次測試中，甲、乙、丙三人能達(dá)標(biāo)的概率分別為0.4，0.5，0.8，在測試過程中，甲、乙、丙能否達(dá)標(biāo)彼此間不受影響．
（Ⅰ）求甲、乙、丙三人均達(dá)標(biāo)的概率；
（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中至少一人達(dá)標(biāo)的概率；
（Ⅲ）設(shè)ξ表示測試結(jié)束后達(dá)標(biāo)人數(shù)與沒達(dá)標(biāo)人數(shù)之差的絕對值，求ξ的概率分布及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分別記“甲達(dá)標(biāo)”，“乙達(dá)標(biāo)”，“丙達(dá)標(biāo)”為事件A₁，A₂，A₃，分析可得A₁，A₂，A₃相互獨(dú)立，由相互獨(dú)立事件的概率公式，計(jì)算可得答案，
（Ⅱ）記至少一人達(dá)標(biāo)為事件B，分析可得，“至少一人達(dá)標(biāo)”與“3人都不達(dá)標(biāo)”為對立事件，由對立事件的概率公式，先求3人都不達(dá)標(biāo)”的概率，進(jìn)而可得答案，
（Ⅲ）根據(jù)題意，分析可得，ξ的可能取值為1，3，分別計(jì)算ξ 所取的值的概率，進(jìn)而可得分步列，根據(jù)期望的計(jì)算公式，計(jì)算可得答案．

解答：解：（Ⅰ）分別記“甲達(dá)標(biāo)”，“乙達(dá)標(biāo)”，“丙達(dá)標(biāo)”為事件A₁，A₂，A₃，
由已知A₁，A₂，A₃相互獨(dú)立，
P（A₁）=0.4，P（A₂）=0.5，P（A₃）=0.8．
3個人均達(dá)標(biāo)的概率為P（A₁•A₂•A₃）=P（A₁）•P（A₂）•P（A₃）=0.4×0.5×0.8=0.16；

（Ⅱ）分析可得，“至少一人達(dá)標(biāo)”與“3人都不達(dá)標(biāo)”為對立事件，
記至少一人達(dá)標(biāo)為事件B，
則P（B）=1-P(

.

A1

•

.

A2

•

.

A3

)=1-P(

.

A1

)•P(

.

A2

)•P(

.

A3

)
=1-（1-0.4）（1-0.5）（1-0.8）=0.94，

（Ⅲ）測試結(jié)束后達(dá)標(biāo)人數(shù)的可能取值為0，1，2，3，相應(yīng)地，
沒達(dá)標(biāo)人數(shù)的可能取值為3，2，1，0，
所以ξ的可能取值為1，3；
P(ξ=3)=P(A1•A2•A3)+P(

.

A1

•

.

A2

•

.

A3

)=P(A1)•(A2)•(A3)+P(

.

A1

)•(

.

A2

)•(

.

A3

)
=0.4×0.5×0.8+（1-0.4）（1-0.5）（1-0.8）=0.22，P(ξ=1)=P(A1•A2•

.

A3

)+P(A1•A3•

.

A2

)+P(A2•A3•

.

A1

)+P(A1•

.

A2

•

.

A3

)+P(A2•

.

A1

•

.

A3

)+P(A3•

.

A1

•

.

A2

)
=0.4×0.5×（1-0.8）+0.4×0.8×（1-0.5）+0.5×0.8×（1-0.4）+0.4×（1-0.5）×（1-0.8）+0.5×（1-0.4）×（1-0.8）+0.8×（1-0.4）×（1-0.5）=0.78，
ξ 的概率分布如下表：

Eξ=1×0.78+3×0.22=1.44．

點(diǎn)評：本題考查相互獨(dú)立事件、對立事件的概率計(jì)算，以及分步列、期望的計(jì)算；概率的計(jì)算是關(guān)鍵、基礎(chǔ)，要加強(qiáng)訓(xùn)練．