Question

15．已知過原點(diǎn)的直線l與曲線C：$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1相交，直線l被曲線C所截得的線段長等于$\sqrt{6}$，則直線l的斜率k的-個(gè)取值是 （　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $-\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 設(shè)直線l的方程為y=kx，與橢圓方程聯(lián)立化為${x}^{2}=\frac{3}{1+3{k}^{2}}$，y²=$\frac{3{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$．利用$2\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{6}$，解出即可得出．

解答 解：設(shè)直線l的方程為y=kx，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為${x}^{2}=\frac{3}{1+3{k}^{2}}$，y²=$\frac{3{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$．
∴$2\sqrt{\frac{3}{1+3{k}^{2}}+\frac{3{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}}$=$\sqrt{6}$，
化為：k²=1．
解得k=±1．
∴直線l的斜率k的-個(gè)取值是1．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．