Question

如圖1，△ABC是正三角形，△ABD是等腰直角三角形，AB=BD=2．將△ABD沿邊AB折起，使得△ABD與△ABC成30°的二面角D-AB-C，如圖2，在二面角D-AB-C中．

（1）求D、C之間的距離；
（2）求CD與面ABC所成的角的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）依題意建立空間直角坐標(biāo)系使得△ABC在yoz平面上，由已知條件分別求出點(diǎn)C和點(diǎn)D的空間坐標(biāo)，利用空間兩點(diǎn)間的距離公式能求出D、C之間的距離．
（2）由題設(shè)條件求出面ABC的一個(gè)法向量和向量

CD

，利用向量法能求出CD與平面ABC所成的角．

解答： 解：（1）依題意，∠ABD=90°，建立如圖1的坐標(biāo)系使得△ABC在yoz平面上，（2分）．

∵△ABD與△ABC成30°的二面角，∴∠DBY=30°，（3分）
又AB=BD=2，∴A（0，0，2），B（0，0，0），
C（0，

3

，1），D（1，

3

，0），（6分）
|CD|=

(1-0)2+( 3 - 3 )2+(0-1)2

=

2

，（7分）
解：（2）∵x軸與面ABC垂直，∴（1，0，0）是面ABC的一個(gè)法向量．
設(shè)CD與面ABC成的角為θ，
∵

CD

=（1，0，-1），（10分）
∴sinθ=

|(1，0，0)•(1，0，-1)|

12+02+02 12+02+(-1)2

=

2

2

．（12分）
∵θ∈[0，

π

2

]，∴θ=

π

4

；
∴CD與平面ABC的所成角是

π

4

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間兩點(diǎn)間的距離的求法，考查直線與平面所成角的大小的求法，解題時(shí)要恰當(dāng)?shù)亟�立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解．