Question

（本小題滿(mǎn)分15分）
（Ⅰ）如圖1，是平面內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)，且與不重合，是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，試證明：存在實(shí)數(shù)，使得：.
（Ⅱ）如圖2,設(shè)為的重心,過(guò)點(diǎn)且與、（或其延長(zhǎng)線）分別交于點(diǎn)，若，，試探究：的值是否為定值，若為定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）為定值.

點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)A,B,C共線，考查向量共線定理，，將所有向量用P起始點(diǎn)，得出：
；
為的重心，
分別得出向量 ，及向量的關(guān)系。
解：（Ⅰ）由于三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)使得：
，                        ………3分
即               ………5分
化簡(jiǎn)為
結(jié)論得證.                           ………7分
（Ⅱ）連結(jié)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823214928172324.png" style="vertical-align:middle;" />為的重心，
所以：………10分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823214928703646.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以………12分
由（Ⅰ）知： 所以為定值.…15分