Question

12．已知函數(shù)f（x）=alnx+x²（a為實(shí)常數(shù)）
（1）當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，討論方程f（x）=0的根的個(gè)數(shù)；
（2）若a＞0，且對(duì)任意的x₁，x₂∈（0，$\frac{1}{2}$]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$|，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把原函數(shù)f（x）=alnx+x²求導(dǎo)，分a≥0和a＜0討論打哦函數(shù)的單調(diào)性，特別是當(dāng)a＜0時(shí)，求出函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值及端點(diǎn)處的函數(shù)值，然后根據(jù)最小值和F（e）的值的符號(hào)討論在x∈[1，e]時(shí)，方程f（x）=0根的個(gè)數(shù)；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f（x₂）+$\frac{1}{{x}_{2}}$≤f（x₁）+$\frac{1}{{x}_{1}}$，令h（x）=f（x）+$\frac{1}{x}$=alnx+x²+$\frac{1}{x}$，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得到a≤$\frac{1}{x}$-2x²，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）由f（x）=alnx+x²，得f′（x）=$\frac{a}{x}$+2x=$\frac{{2x}^{2}+a}{x}$．
若a≥0，則在[1，e]上f′（x）＞0，函數(shù)f（x）=alnx+x²在[1，e]上為增函數(shù)，
由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的個(gè)數(shù)是0；
若a＜0，由f′（x）=0，得x=-$\sqrt{-\frac{a}{2}}$（舍），或x=$\sqrt{-\frac{a}{2}}$．
若$\sqrt{-\frac{a}{2}}$≤1，即-2≤a＜0，f（x）=alnx+x²在[1，e]上為增函數(shù)，
由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的個(gè)數(shù)是0；
若$\sqrt{-\frac{a}{2}}$≥e，即a≤-2e²，f（x）=alnx+x²在[1，e]上為減函數(shù)，
由f（1）=1，f（e）=alne+e²=e²+a≤-e²＜0，
所以方程f（x）=0在[1，e]上有1個(gè)實(shí)數(shù)根；
若1＜$\sqrt{-\frac{a}{2}}$＜e，即-2e²＜a＜-2，
f（x）在[1，$\sqrt{-\frac{a}{2}}$]上為減函數(shù)，在[$\sqrt{-\frac{a}{2}}$，e]上為增函數(shù)，
由f（1）=1＞0，f（e）=e²+a．
f（x）min=f（$\sqrt{-\frac{a}{2}}$）=$\frac{a}{2}$ln（-$\frac{a}{2}$）-=$\frac{a}{2}$[ln（-$\frac{a}{2}$）-1]．
當(dāng)-$\frac{a}{2}$＜e，即-2e＜a＜-2時(shí)，f（$\sqrt{-\frac{a}{2}}$）＞0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的個(gè)數(shù)是0．
當(dāng)a=-2e時(shí)，方程f（x）=0在[1，e]上的根的個(gè)數(shù)是1．
當(dāng)-e²≤a＜-2e時(shí)，f（$\sqrt{-\frac{a}{2}}$）＜0，f（e）=a+e²≥0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的個(gè)數(shù)是2．
當(dāng)-2e²＜a＜-e²時(shí)，f（$\sqrt{-\frac{a}{2}}$）＜0，f（e）=a+e²＜0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的個(gè)數(shù)是1；
（2）若a＞0，易知f（x）單調(diào)遞增，對(duì)于x₁，x₂∈（0，$\frac{1}{2}$）
設(shè)x₁＜x₂，原不等式等價(jià)于f（x₂）-f（x₁）≤$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$，
即f（x₂）+$\frac{1}{{x}_{2}}$≤f（x₁）+$\frac{1}{{x}_{1}}$，
令h（x）=f（x）+$\frac{1}{x}$=alnx+x²+$\frac{1}{x}$，
則h（x）在（0，$\frac{1}{2}$]單調(diào)遞減，
即h′（x）=$\frac{a}{x}$+2x-$\frac{1}{{x}^{2}}$≤0⇒a≤$\frac{1}{x}$-2x²，
顯然$\frac{1}{x}$-2x²在x∈（0，$\frac{1}{2}$]單調(diào)遞減，
最小值為2-2•${（\frac{1}{2}）}^{2}$=$\frac{3}{2}$，
即a≤$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的最值，考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)的判斷，考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了構(gòu)造函數(shù)求變量的取值范圍，此題是有一定難度題目．