Question

3．已知a是實(shí)常數(shù)，函數(shù)f（x）=xlnx+ax²．
（1）若曲線y=f（x）在x=1處的切線過點(diǎn)A（0，-2），求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若f（x）有兩個極值點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜x₂），
①求證：-$\frac{1}{2}$＜a＜0；
②求證：f（x₁）＜0，f（x₂）＞-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線方程，代入點(diǎn)（0，-2），即可解得a；
（2）①依題意：f′（x）=0 有兩個不等實(shí)根x₁，x₂（x₁＜x₂），設(shè)g（x）=lnx+2ax+1，求出導(dǎo)數(shù)，討論當(dāng)a≥0時，當(dāng)a＜0時，求得函數(shù)g（x）的單調(diào)性，令極大值大于0，解不等式即可得證；
②由①知：f（x），f′（x） 變化，求得f（x）的增區(qū)間，通過導(dǎo)數(shù)，判斷x₁∈（0，1），設(shè)h（x）=$\frac{1}{2}$（xlnx-x）（0＜x＜1），求得h（x）的單調(diào)性，即可得證．

解答 解：（1）由已知可得，f′（x）=lnx+1+2ax（x＞0），切點(diǎn)P（1，a），
f（x）在x=1處的切線斜率為k=1+2a，
切線方程：y-a=（2a+1）（x-1），
把（0，-2）代入得：a=1；
（2）證明：①依題意：f′（x）=0 有兩個不等實(shí)根x₁，x₂（x₁＜x₂），
設(shè)g（x）=lnx+2ax+1 則g′（x）=$\frac{1}{x}$+2a（x＞0）；
當(dāng)a≥0時，有g(shù)′（x）＞0，所以g（x）是增函數(shù)，不符合題意；
當(dāng)a＜0時：由g′（x）=0得：x=-$\frac{1}{2a}$＞0，
列表如下：

x	（0，-$\frac{1}{2a}$）	-$\frac{1}{2a}$	（-$\frac{1}{2a}$，+∞）
g′（x）	+	0	-
g（x）	↗	極大值	↘

依題意：g（-$\frac{1}{2a}$）=ln（-$\frac{1}{2a}$）＞0，解得：-$\frac{1}{2}$＜a＜0，
綜上可得，-$\frac{1}{2}$＜a＜0得證；
②∵x₁＜-$\frac{1}{2a}$＜x₂，又∵f′（1）=ln1+1+2a＞0，
∴x₁＜1；f′（x₁）=1+lnx₁+2ax₁，
∴f（x₁）=x₁lnx₁+ax₁²
=x₁（-1-2ax₁）+ax₁²=-x₁（1+ax₁），
∵x₁＞0，1+ax₁＞0；∴f（x₁）＜0；
易知f（x₂）＞f（x₁），
又f′（1）=g（1）=1+2a＞0，故x₁∈（0，1），
由（1）知：ax₁=$\frac{-1-ln{x}_{1}}{2}$，f（x₁）=x₁lnx₁+ax₁²=$\frac{1}{2}$（x₁lnx₁-x₁）（0＜x₁＜1）
設(shè)h（x）=$\frac{1}{2}$（xlnx-x）（0＜x＜1），則h′（x）=$\frac{1}{2}$lnx＜0成立，所以h（x）單調(diào)遞減，
故：h（x）＞h（1）=-$\frac{1}{2}$，也就是f（x₁）＞-$\frac{1}{2}$，
故f（x₂）＞-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和分類討論的思想方法，注意函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．