Question

【題目】學(xué)習(xí)了余弦定理后，老師布置了一個(gè)課外任務(wù)，讓同學(xué)們自己制作一些直角三角形、銳角三角形或鈍角三角形的模型，現(xiàn)在李明和王強(qiáng)同學(xué)已經(jīng)有了兩根長度分別為和的鐵絲.

（1）如果他們希望能夠制作一個(gè)直角三角形，那么他們需要的第三根鐵絲的長度應(yīng)該是多少？

（2）如果他們希望能夠制作一個(gè)鈍角三角形，那么他們需要的第三根鐵絲的長度應(yīng)該在什么范圍？制作一個(gè)銳角三角形呢？

Answer 1

【答案】（1）或；（2）見解析.

【解析】

（1）分兩種情況討論，斜邊為長度為的鐵絲或第三根鐵絲，利用勾股定理即可求出結(jié)果；

（2）若三角形為鈍角三角形，分兩種情況討論，最長邊為長度為的鐵絲或第三根鐵絲，利用最大角的余弦值為負(fù)數(shù)，結(jié)合余弦定理以及三角形三邊關(guān)系可求得結(jié)果，同理可得出當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí)第三邊長度的取值范圍.

（1）制作一個(gè)直角三角形，設(shè)第三根鐵絲的長度為.

①若長度為的鐵絲為斜邊，則；

②第三根鐵絲為斜邊，則.

綜上所述，所求第三邊的長度為或；

（2）制作一個(gè)鈍角三角形，設(shè)第三根鐵絲的長度為，設(shè)鈍角三角形的最大角為.

①若最長邊為的鐵絲，則，解得，

又，，即；

②若最長邊為的鐵絲，則，解得，

由，此時(shí).

綜上所述，當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，第三邊的取值范圍是.

同理可知，制作一個(gè)銳角三角形時(shí)，第三邊的取值范圍是.