Question

已知各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，a₃=8，a₅=32．
（1）求a_n的表達(dá)式；
（2）若b_n=2+log₂a_n，求b₁，b₂，b₃；
（3）數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求滿足S_n≤25的最大整數(shù)n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)和公比，由此能求出an=2•2n-1=2ⁿ．
（2）由an=2n，知b_n=2+log₂a_n=2+n，由此能求出b₁，b₂，b₃．
（3）由b_n=2+n，求出S_n=

1

2

n2+

5

2

n，由Sn=

1

2

n2+

5

2

n≤25，能求出最大整數(shù)n的值．

解答： 解：（1）∵各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，a₃=8，a₅=32，
∴

a1q2=8 a1q4=32 q＞0

，解得a₁=2，q=2，
∴an=2•2n-1=2ⁿ．
（2）∵an=2n，
∴b_n=2+log₂a_n=2+n，
∴b₁=2+1=3，
b₂=2+2=4，
b₃=2+3=5．
（3）∵b_n=2+n，
∴S_n=3n+

n(n-1)

2

×1=

1

2

n2+

5

2

n，
由Sn=

1

2

n2+

5

2

n≤25，解得-10≤n≤5，n∈N^*，
∴最大整數(shù)n的值為5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．