Question

已知f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx+a（a∈R），若當(dāng)x∈[

π

4

，

π

2

]時(shí)，f（x）的最大值為2+

3

，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：先利用二倍角、輔助角公式，化簡(jiǎn)函數(shù)，再結(jié)合x(chóng)∈[

π

4

，

π

2

]，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)的最值，利用f（x）的最大值為2+

3

，即可求a的值．

解答： 解：f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx+a=cos2x+1+

3

sin2x+a=2sin（2x+

π

6

）+1+a，
∵x∈[

π

4

，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

2π

3

，

7π

6

]，
∴2x+

π

6

=

2π

3

，即x=

π

4

時(shí)，f（x）取得最大值

3

+1+a，
∵當(dāng)x∈[

π

4

，

π

2

]時(shí)，f（x）的最大值為2+

3

，
∴

3

+1+a=2+

3

，
∴a=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用二倍角、輔助角公式化簡(jiǎn)是關(guān)鍵．