Question

求證：無論a取什么實(shí)數(shù)，二次函數(shù)y＝x²＋ax＋a－2的圖象都與x軸相交于兩個不同的點(diǎn)，并求出這兩點(diǎn)間距離最小時的二次函數(shù)解析式．

Answer 1

答案：
解析：

解：令x2＋ax＋a－2＝0． 　　∵Δ＝a2－4(a－2)＝a2－4a＋8＝(a－2)2＋4，∴無論a為任何實(shí)數(shù)，均有Δ＞0． 　　∴此二次函數(shù)必與x軸交于兩個不同的點(diǎn)． 　　設(shè)這兩個不同交點(diǎn)為A(x1，0)，B(x2，0)，則x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2， 　　∴交點(diǎn)之間的距離為 　　|AB|＝|x1－x2| 　�。�． 　　∴當(dāng)a＝2時，|AB|最小＝＝2． 　　∴此時函數(shù)的解析式為y＝x2＋2x． 　　點(diǎn)評：利用韋達(dá)定理求出二次函數(shù)y＝x2＋ax＋a－2的圖象與x軸兩交點(diǎn)之間的距離，再用配方法求出a取何值時，距離最小，一般來說不要解一元二次方程求交點(diǎn)，可直接應(yīng)用求根公式得|x1－x2|＝．

提示：

要證明二次函數(shù)圖象與x軸有兩個交點(diǎn)，只要證明相應(yīng)的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．二次函數(shù)圖象與x軸有兩交點(diǎn)，求兩交點(diǎn)間的距離，可以轉(zhuǎn)化為對應(yīng)一元二次方程兩根差的絕對值，再用韋達(dá)定理及二次函數(shù)的最值知識求出a的值．