Question

已知向量

a

=（cosx-sinx，cosx+sinx），

b

=（cosx，-sinx），

c

=（2，1），其中x∈[0，π]．
（Ⅰ）若（3

a

+4

b

）∥

c

，求x；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）是

a

在

b

方向上的投影，在給出的直角坐標(biāo)系中，畫出y=f（x）在[0，π]的圖象．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知計(jì)算3

a

+4

b

，由（3

a

+4

b

）∥

c

，求得cosx=sinx，從而得x的值；
（Ⅱ）化簡(jiǎn)f（x）的解析式，列出f（x）在[0，π]的6個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，畫出圖象即可．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，得3

a

+4

b

=（7cosx-3sinx，3cosx-sinx）；
∵（3

a

+4

b

）∥

c

，又

c

=（2，1），
∴7cosx-3sinx-2（3cosx-sinx）=0，
化簡(jiǎn)，得cosx=sinx，
∴tanx=1；
∵x∈[0，π]，
∴x=

π

4

；
（Ⅱ）∵f（x）=

a • b

| b |

=（cosx-sinx）cosx+（cosx+sinx）（-sinx）
=cos²x-sin²x-2sinxcosx
=cos2x-sin2x
=

2

（

2

2

cos2x-

2

2

sin2x）
=

2

cos（2x+

π

4

），
列表如下：；
∴畫出y=f（x）在[0，π]的圖象為

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量與三角函數(shù)相結(jié)合的有關(guān)問題，解題時(shí)應(yīng)按照向量的運(yùn)算法則以及三角函數(shù)的知識(shí)，進(jìn)行解答，是基礎(chǔ)題．