Question

如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠C=90°，AB=2BC=2CD=2．E為AB中點(diǎn)．現(xiàn)將該梯形沿DE析疊．使四邊形BCDE所在的平面與平面ADE垂直．
（1）求多面體ABCDE的體積；
（2）求證：BD⊥平面ACE；
（3）求平面BAC與平面EAC夾角的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出AE⊥平面BCDE，由此能求出多面體ABCDE的體積．
（2）由已知條件推導(dǎo)出AE⊥平面BCDE，從而得到BD⊥AE，又BD⊥CE，由此能證明BD⊥平面ACE．
（3）設(shè)BD∩CE=O，過點(diǎn)O作OF⊥AC于F，連結(jié)BF，由已知條件推導(dǎo)出∠OFB是二面角B-AC-E的平面角，由此能求出平面BAC與平面EAC夾角的大小．

解答： （1）解：∵四邊形BCDE所在的平面與平面ADE垂直，
∴AE⊥平面BCDE，
∴V_A-BCDE=

1

3

SBCDE•AE=

1

3

×1×1=

1

3

．
（2）證明：∵平面BCDE⊥平面ADE，AE⊥BE，
∴AE⊥平面BCDE，而BD?平面BCDE，
∴BD⊥AE，又BD⊥CE，AE∩CE=E，
∴BD⊥平面ACE．
（3）解：設(shè)BD∩CE=O，過點(diǎn)O作OF⊥AC于F，連結(jié)BF，
∵BD⊥平面ACE，∴BD⊥AC，
∴AC⊥平面BOF，∴AC⊥BF，
∴∠OFB是二面角B-AC-E的平面角，
在Rt△OFB中，OB=

2

2

，BF=

2

3

，
∴sin∠OFB=

OB

BF

=

3

2

，
∴∠OFB=60°，
∴平面BAC與平面EAC夾角的大小為60°．

點(diǎn)評：本題考查多面體體積的求法，考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．