Question

8．已知$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+（{a+b}）x+2，x≤0\\ 2，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x＞0\end{array}\right.$，其中a是方程x+lgx=4的解，b是方程x+10^x=4的解，如果關于x的方程f（x）=x的所有解分別為x₁，x₂，…，x_n，記$\sum_{i=1}^n{{x_i}={x_1}+{x_2}+…+{x_n}}$，則$\sum_{i=1}^n{x_i}$=-1．

Answer 1

分析 先根據(jù)a滿足x+lgx=4，b滿足x+10^x=4，可得a+b=4，進而可分類求出關于x的方程f（x）=x的解，再求其和即可．

解答 解：∵a滿足x+lgx=4，b滿足x+10^x=4，
∴a，b分別為函數(shù)y=4-x與函數(shù)y=lgx，y=10^x圖象交點的橫坐標，
由于y=x與y=4-x圖象交點的橫坐標為2，
函數(shù)y=lgx，y=10^x的圖象關于y=x對稱，
∴a+b=4，
∴函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x+2，x≤0}\\{2，x＞0}\end{array}\right.$，
當x≤0時，關于x的方程f（x）=x，即x²+4x+2=x，即x²+3x+2=0，
∴x=-2或x=-1，滿足題意；
當x＞0時，關于x的方程f（x）=x，即x=2，滿足題意．
∴$\sum_{i=1}^n{x_i}$=-2-1+2=-1，
故答為：-1

點評 本題考查函數(shù)與方程的關系，考查根的個數(shù)的研究，解題的關鍵是求出分段函數(shù)的解析式，有一定的綜合性．