Question

【題目】已知函數(shù) .
（1）若 ，求函數(shù) 的極小值；
（2）設(shè)函數(shù) ，求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；
（3）若在區(qū)間 上存在一點(diǎn) ，使得 成立，求 的取值范圍，（ ）

Answer 1

【答案】
（1）解： 的定義域?yàn)? ．

當(dāng) 時(shí)， ， ．

由 ，解得 .

當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)遞減；

當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)遞增；

所以當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 取得極小值，極小值為

（2）解： ，其定義域?yàn)? ．

又 ．

①當(dāng) ，即 時(shí)，在 上 ，所以，函數(shù) 在 上單調(diào)遞增.

②當(dāng) ，即 時(shí)，在 上 ，在 上 ，

所以 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增；

綜上所述：當(dāng) 時(shí)， 的遞減區(qū)間為 ；遞增區(qū)間為 ．

當(dāng) 時(shí)， 只有遞增區(qū)間為 ．

（3）解：若在 上存在一點(diǎn) ，使得 成立，即在 上存在一點(diǎn) ，使得 ．

則函數(shù) 在 上的最小值小于零．

①當(dāng) ，即 時(shí)，由（2）可知 在 上單調(diào)遞減．

故 在 上的最小值為 ，由 ，可得 ．

因?yàn)? ．所以 ；

②當(dāng) ，即 時(shí)，由（2）可知 在 上單調(diào)遞增．

故 在 上最小值為 ，由 ，

可得 （滿足 ）；

③當(dāng) ，即 時(shí)，由（2）可知可得 在 上最小值為

．

因?yàn)? ，所以， ．

，即 不滿足題意，舍去．

綜上所述得 ，或 ．

實(shí)數(shù) 的取值范圍為 ．

【解析】（1）先求出函數(shù)的定義域，求導(dǎo)；（2）利用導(dǎo)數(shù)h（x）討論h（x）的單調(diào)性；（3）若在 [ 1 , e ] 上存在一點(diǎn) x 0 ，使得f（x0）g（x0） 成立，即在 [ 1 , e ] 上存在一點(diǎn) x0，使得 h（x0）< 0，根據(jù)（2）求出h（x）的最小值，并使h（x）的最小值小于零.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減，以及對(duì)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．