【題目】點與定點的距離和它到直線的距離的比是常數(shù)．

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）過坐標(biāo)原點的直線交軌跡于，兩點，軌跡上異于，的點滿足直線的斜率為．

（ⅰ）證明：直線與的斜率之積為定值；

（ⅱ）求面積的最大值．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（�。┳C明見解析；（ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)已知條件列方程，化簡后求得軌跡的方程.

（Ⅱ）

（ⅰ）利用點差法，求得，由此證得結(jié)論成立.

（ⅱ）利用弦長公式求得，利用點到直線的距離公式求得到直線的距離，由此求得三角形面積的表達式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得三角形面積的最大值.

（Ⅰ）由已知得，兩邊平方并化簡得，

即點的軌跡的方程為：．

（Ⅱ）（ⅰ）設(shè)點，則點，滿足， ①

設(shè)點，滿足， ②

由①－②得：，

∵，，

∴．

（ⅱ）∵，關(guān)于原點對稱，∴，

設(shè)直線，代入曲線化簡得：，

設(shè)，，由得：，，，

，

點到直線的距離，

∴，

∴，當(dāng)時，

∴取到最大值．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，且直線與曲線C有兩個不同的交點.

（1）求實數(shù)a的取值范圍；

（2）已知M為曲線C上一點，且曲線C在點M處的切線與直線垂直，求點M的直角坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若在單調(diào)遞增，求的值；

（2）當(dāng)時，設(shè)函數(shù)的最小值為，求函數(shù)的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知點是軸下方（不含軸）一點，拋物線上存在不同的兩點、滿足，，其中為常數(shù)，且、兩點均在上，弦的中點為．

（1）若點坐標(biāo)為，時，求弦所在的直線方程；

（2）在（1）的條件下，如果過點的直線與拋物線只有一個交點，過點的直線與拋物線也只有一個交點，求證：若和的斜率都存在，則與的交點在直線上；

（3）若直線交拋物線于點，求證：線段與的比為定值，并求出該定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知三棱柱的所有棱長均為2，．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）若平面平面，為的中點，求與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】橢圓的焦距是，長軸長是短軸長3倍，任作斜率為的直線與橢圓交于兩點（如圖所示），且點在直線的左上方.

（1）求橢圓的方程；

（2）若，求的面積；

（3）證明：的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；

（2）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時，求函數(shù)的極大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知是拋物線C：上的一點，過P作互相垂直的直線PA，PB．與拋物線C的另一交點分別是A，B.

（1）若直線AB的斜率為，求AB方程；

（2）設(shè)，當(dāng)時，求△PAB的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某景區(qū)平面圖如圖1所示，為邊界上的點．已知邊界是一段拋物線，其余邊界均為線段，且，拋物線頂點到的距離．以所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．

（1）求邊界所在拋物線的解析式；

（2）如圖2，該景區(qū)管理處欲在區(qū)域內(nèi)圍成一個矩形場地，使得點在邊界上，點在邊界上，試確定點的位置，使得矩形的周長最大，并求出最大周長．

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