Question

若（

1

2

+2x）ⁿ展開(kāi)式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為79，求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理

專題：二項(xiàng)式定理

分析：由條件求得n=12，再求得通項(xiàng)公式為 T_r+1=

C

r 12

•2^2r-12•x^r．由

C r 12 •4r-6 ≥C r+1 12 •4r-5 C r 12 •4r-6 ≥C r-1 12 •4r-7

，求得r=10，可得結(jié)論．

解答： 解：由題意可得

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

=1+n+

n(n-1)

2

=79，解得n=-13（舍去）或 n=12，
故（

1

2

+2x）¹²展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=

C

r 12

•(

1

2

)12-r•（2x）^r=

C

r 12

•2^2r-12•x^r．
要使第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大，只要

C

r 12

•2^2r-12=

C

r 12

•4^r-6 最大．
由

C r 12 •4r-6 ≥C r+1 12 •4r-5 C r 12 •4r-6 ≥C r-1 12 •4r-7

，可得

47

5

≤r≤

52

5

，∴r=10，
即第11項(xiàng)的系數(shù)最大．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．