Question

設(shè)△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且

a+c

2b

=cosA+cosC．
（1）證明：A，B，C成等差數(shù)列；
（2）求y=cos²

A

2

+cos²

B

2

+cos²

C

2

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由條阿基利用正弦定理可得sinA+sinC=2sinB•（cosA+cosC ），再利用和差化積公式求得sin

B

2

=

1

2

，

B

2

=30°，可得B=60°，A+C=120°，2B=A+C，命題得證．
（2）利用二倍角公式化簡函數(shù)的解析式為y=

7

4

+

1

2

cos

A-C

2

，根據(jù)-120°＜A-C＜120°，利用余弦函數(shù)的定義域和值域求得y的范圍．

解答： 解：（1）證明：△ABC中，∵

a+c

2b

=cosA+cosC，
∴由正弦定理可得

sinA+sinC

2sinB

=cosA+cosC，即 sinA+sinC=2sinB•（cosA+cosC ），
即2sin

A+C

2

cos

A-C

2

=2sinB•2cos

A+C

2

cos

A-C

2

，
化簡可得 sin

180°-B

2

=4sin

B

2

cos

B

2

•cos

180°-B

2

，求得sin

B

2

=

1

2

，

B

2

=30°，
∴B=60°，A+C=120°，2B=A+C，∴：A，B，C成等差數(shù)列．
（2）求y=cos²

A

2

+cos²

B

2

+cos²

C

2

=

1+cosA

2

+

3

4

+

1+cosC

2

=

7

4

+

1

2

（cosA+cosC）
=

7

4

+

1

2

×2cos

A+C

2

cos

A-C

2

=

7

4

+

1

2

cos

A-C

2

．
由題意可得-120°＜A-C＜120°，∴

A-C

2

∈（-60°，60°），
∴cos

A-C

2

∈（

1

2

，1]，∴y∈（2，

9

4

]．

點(diǎn)評：本題主要考查正弦定理、和差化積公式、二倍角公式的應(yīng)用，等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，余弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．