Question

12．已知0＜k＜4，直線l₁：kx-2y-2k+8=0和直線${l_2}：2x+{k^2}y-4{k^2}-4=0$與兩坐標軸圍成一個四邊形，求使這個四邊形面積取最小時的k的值及最小面積的值．

Answer 1

分析 求出兩直線經過的定點坐標，再求出直線與x 軸的交點，與y 軸的交點，得到所求的四邊形，求出四邊形的面積表達式，應用二次函數的知識求面積最小時的k值與最小面積值．

解答 解：如圖所示：
直線L：kx-2y-2k+8=0 即k（x-2）-2y+8=0，過定點B（2，4），
與y軸的交點C（0，4-k），
直線M：2x+k²y-4k²-4=0，即  2x+k² （y-4）-4=0，
過定點（2，4 ），與x軸的交點A（2k²+2，0），
由題意，四邊形的面積等于三角形ABD的面積和梯形 OCBD的面積之和，
∴所求四邊形的面積為$\frac{1}{2}$×4×（2 k²+2-2）+$\frac{1}{2}$×（4-k+4）×2=4k²-k+8，
∴當k=$\frac{1}{8}$時，所求四邊形的面積最小，最小面積的值為$\frac{63}{8}$．

點評 本題考查了直線過定點問題，以及二次函數的最值問題，考查了數形結合思想的應用問題，是基礎題．