Question

4．已知點A是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上一點，F(xiàn)為橢圓的一個焦點，且AF⊥x軸，|AF|=c（c為橢圓的半焦距），則橢圓的離心率是$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$．

Answer 1

分析 由題意把|AF|用含有a，b的代數(shù)式表示，結(jié)合|AF|=c列式得到關于a，c的方程，轉(zhuǎn)化為關于e的方程得答案．

解答 解：如圖，
由$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），得$\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1-\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-{x}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴${y}^{2}=\frac{^{2}}{{a}^{2}}（{a}^{2}-{x}^{2}）$，取x=c，可得${y}^{2}=\frac{^{2}}{{a}^{2}}（{a}^{2}-{c}^{2}）=\frac{^{4}}{{a}^{2}}$，
∵|AF|=c，∴|AF|²=${c}^{2}=\frac{^{4}}{{a}^{2}}=\frac{（{a}^{2}-{c}^{2}）^{2}}{{a}^{2}}$，
整理得：c⁴-3a²c²+a⁴=0，即e⁴-3e²+1=0，
解得${e}^{2}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$（舍）或${e}^{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
∴$e=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了橢圓通徑的應用，是基礎的計算題．