Question

6．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，CD=2，底面ABCD為梯形，AB∥DC，AB⊥BC，AB=BC=PA=1，點(diǎn)E在棱PB上，且PE=2EB．
（1）求證：PD∥平面EAC；
（2）求直線PD與平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以A為原點(diǎn)，取CD中點(diǎn)F，以AF為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明PD∥平面EAC．
（2）求出$\overrightarrow{PD}$和平面PAB的法向量，利用向量法能求出直線PD與平面PAB所成角的正弦值．

解答 （1）證明：以A為原點(diǎn)，取CD中點(diǎn)F，以AF為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則由題意P（0，0，1），D（1，-1，0），A（0，0，0），
B（0，1，0），E（0，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），C（1，1，0），
$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），$\overrightarrow{AC}$（1，1，0），$\overrightarrow{PD}$=（1，-1，-1），
設(shè)平面EAC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），
∵$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{n}$=1+1-2=0，PD?平面EAC，
∴PD∥平面EAC．
（2）解：設(shè)直線PD與平面PAB所成角為θ，
∵$\overrightarrow{PD}$=（1，-1，-1），平面PAB的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
∴sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PD}，\overrightarrow{m}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{PD}|•|\overrightarrow{m}|}$|=|$\frac{1}{\sqrt{3}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直線PD與平面PAB所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查直線所成角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．