Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+cx+d（a≠0）是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x=1時(shí)取得極值-2，
（1）當(dāng)x＞0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=x⁴-2x²-3，對(duì)任意x∈[-

3

，

3

]都有f（x）≥g（x）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出單調(diào)區(qū)間即可，注意對(duì)a進(jìn)行討論；
（2）由題意若對(duì)任意x∈[-

3

，

3

]都有f（x）≥g（x）成立，即f（x）min≥g（x）max，利用（1）的結(jié)論求得f（x）及g（x）的最值即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意函數(shù)f（x）是奇函數(shù)得f（0）=0，∴d=0．又當(dāng)x=1時(shí)取得極值，得f′（1）=0，∴c=-3a．
∴f（x）=ax³-3ax，（a≠0，x＞0）．f′（x）=3a（x+1）（x-1），
①若a＞0，f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增．
②若a＜0，f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減．
（2）由已知得g（x）=（x²-1）²-4，x²∈[0，3]，g（x）max=0，g（x）min=-4．
根據(jù)題意即f（x）min≥g（x）max=0，x∈[-

3

，

3

]
由（1）知，當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）min=min{f（-

3

），f（1）}=-2a＜0，
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）min=min{f（-1），f（

3

））}=2a＜0．∴a∈Φ

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的最值等知識(shí)，以及不等式恒成立的條件問題，能把恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，然后借助導(dǎo)數(shù)解決，體會(huì)分類討論思想和轉(zhuǎn)化劃歸思想的運(yùn)用，屬難題．