Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

1

x

，g（x）=ax+b．
（1）若函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若直線g（x）=ax+b是函數(shù)f（x）=lnx-

1

x

圖象的切線，求a+b的最小值；
（3）當b=0時，若f（x）與g（x）的圖象有兩個交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求證：x₁x₂＞2e²．
（取e為2.8，取ln2為0.7，取

2

為1.4）

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）把f（x）和g（x）代入h（x）=f（x）-g（x），求其導函數(shù)，結(jié)合h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，可得對?x＞0，都有h′（x）≥0，得到a≤

1

x

+

1

x2

，由

1

x

+

1

x2

＞0得到a的取值范圍；
（2）設(shè)切點(x0，lnx0-

1

x0

)，寫出切線方程，整理得到y=(

1

x0

+

1

x 2 0

)x+(lnx0-

2

x0

-1)，令

1

x0

=t＞0換元，可得a+b=φ（t）=-lnt+t²-t-1，利用導數(shù)求其最小值；
（3）由題意知lnx1-

1

x1

=ax1，lnx2-

1

x2

=ax2，把a用含有x₁，x₂的代數(shù)式表示，得到lnx1x2-

2(x1+x2)

x1x2

=

x1+x2

x2-x1

ln

x2

x1

，不妨令0＜x₁＜x₂，記t=

x2

x1

＞1，構(gòu)造函數(shù)F(t)=lnt-

2(t-1)

t+1

(t＞1)，由導數(shù)確定其單調(diào)性，從而得到ln

x2

x1

＞

2(x2-x1)

x1+x2

，即lnx1x2-

2(x1+x2)

x1x2

=

x1+x2

x2-x1

ln

x2

x1

＞2，然后利用基本不等式放縮得到ln

x1x2

-

2

x1x2

＞1，令G(x)=lnx-

2

x

，再由導數(shù)確定G（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，然后結(jié)合又ln

2

e-

2

2 e

=

1

2

ln2+1-

2

e

≈0.85＜1得到

x1x2

＞

2

e，即x1x2＞2e2．

解答： （1）解：h（x）=f（x）-g（x）=lnx-

1

x

-ax-b，則h′(x)=

1

x

+

1

x2

-a，
∵h（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴對?x＞0，都有h′(x)=

1

x

+

1

x2

-a≥0，
即對?x＞0，都有a≤

1

x

+

1

x2

，
∵

1

x

+

1

x2

＞0，∴a≤0，
故實數(shù)a的取值范圍是（-∞，0]；
（2）解：設(shè)切點(x0，lnx0-

1

x0

)，則切線方程為y-(lnx0-

1

x0

)=(

1

x0

+

1

x 2 0

)(x-x0)，
即y=(

1

x0

+

1

x 2 0

)x-(

1

x0

+

1

x 2 0

)x0+(lnx0-

1

x0

)，亦即y=(

1

x0

+

1

x 2 0

)x+(lnx0-

2

x0

-1)，
令

1

x0

=t＞0，由題意得a=

1

x0

+

1

x 2 0

=t+t2，b=lnx0-

2

x0

-1=-lnt-2t-1，
令a+b=φ（t）=-lnt+t²-t-1，則φ′(t)=-

1

t

+2t-1=

(2t+1)(t-1)

t

，
當t∈（0，1）時，φ'（t）＜0，φ（t）在（0，1）上單調(diào)遞減；
當t∈（1，+∞）時，φ'（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴a+b=φ（t）≥φ（1）=-1，故a+b的最小值為-1；
（3）證明：由題意知lnx1-

1

x1

=ax1，lnx2-

1

x2

=ax2，
兩式相加得lnx1x2-

x1+x2

x1x2

=a(x1+x2)，
兩式相減得ln

x2

x1

-

x1-x2

x1x2

=a(x2-x1)，
即

ln x2 x1

x2-x1

+

1

x1x2

=a，
∴lnx1x2-

x1+x2

x1x2

=(

ln x2 x1

x2-x1

+

1

x1x2

)(x1+x2)，
即lnx1x2-

2(x1+x2)

x1x2

=

x1+x2

x2-x1

ln

x2

x1

，
不妨令0＜x₁＜x₂，記t=

x2

x1

＞1，
令F(t)=lnt-

2(t-1)

t+1

(t＞1)，則F′(t)=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
∴F(t)=lnt-

2(t-1)

t+1

在（1，+∞）上單調(diào)遞增，則F(t)=lnt-

2(t-1)

t+1

＞F(1)=0，
∴lnt＞

2(t-1)

t+1

，則ln

x2

x1

＞

2(x2-x1)

x1+x2

，
∴lnx1x2-

2(x1+x2)

x1x2

=

x1+x2

x2-x1

ln

x2

x1

＞2，
又lnx1x2-

2(x1+x2)

x1x2

＜lnx1x2-

4 x1x2

x1x2

=lnx1x2-

4

x1x2

=2ln

x1x2

-

4

x1x2

，
∴2ln

x1x2

-

4

x1x2

＞2，即ln

x1x2

-

2

x1x2

＞1，
令G(x)=lnx-

2

x

，則x＞0時，G′(x)=

1

x

+

2

x2

＞0，
∴G（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
又ln

2

e-

2

2 e

=

1

2

ln2+1-

2

e

≈0.85＜1，
∴G(

x1x2

)=ln

x1x2

-

2

x1x2

＞1＞ln

2

e-

2

2 e

，
則

x1x2

＞

2

e，即x1x2＞2e2．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法和函數(shù)構(gòu)造法，本題綜合考查了學生的邏輯思維能力和靈活應變能力，難度較大．