Question

已知橢圓Γ：

x2

4

+y2=1．
（1）橢圓Γ的短軸端點(diǎn)分別為A，B（如圖），直線AM，BM分別與橢圓Γ交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，其中點(diǎn)（m，

1

2

）滿足滿足m≠0，且m≠±

3

．
①用m表示點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)；
②若△BME面積是△AMF面積的5倍，求m的值；
（2）若圓φ：x²+y²=4．l₁，l₂是過點(diǎn)P（0，-1）的兩條互相垂直的直線，其中l(wèi)₁交圓φ于T、R兩點(diǎn)，l₂交橢圓Γ于另一點(diǎn)Q．求△TRQ面積取最大值時(shí)直線l₁的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）①求出直線AM、BM的方程，分別與橢圓方程聯(lián)立，即可用m表示點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)；
②若△BME面積是△AMF面積的5倍，利用三角形的面積公式，可得

5|MA|

|ME|

=

|MB|

|MF|

，化簡(jiǎn)，即可求m的值；
（2）設(shè)出兩條直線的方程，求出直線l₁：y=kx-1被圓x²+y²=4所截的弦TR的弦長(zhǎng)，由x+ky+k=0與橢圓方程聯(lián)立，求出|TR|，可得三角形的面積，利用基本不等式，即可求得結(jié)論．

解答： 解：（1）①因?yàn)锳（0，1），B（0，-1），M （m，

1

2

），且m≠0，
∴直線AM的斜率為k₁=-

1

2m

，直線BM斜率為k₂=

3

2m

，
∴直線AM的方程為y=-

1

2m

x+1，直線BM的方程為y=

3

2m

x-1，…（2分）
由y=-

1

2m

x+1與橢圓方程聯(lián)立，得（m²+1）x²-4mx=0，
∴x=0，x=

4m

m2+1

，
∴E（

4m

m2+1

，

m2-1

m2+1

）                               …（4分）
由y=

3

2m

x-1與橢圓方程聯(lián)立，得（m²+9）x²-12mx=0，
∴x=0，x=

12m

m2+9

∴F（

12m

m2+9

，

9-m2

m2+9

）；                                …（5分）
②∵△BME面積是△AMF面積的5倍，∠AMF=∠BME，
∴5|MA||MF|=|MB||ME|，
∴

5|MA|

|ME|

=

|MB|

|MF|

，…（7分）
∴

5m

4m m2+1 -m

=

m

12m 9+m2 -m

（m≠0），
∴整理方程得

1

m2+1

=

15

m2+9

-1，即（m²-3）（m²-1）=0，
又有m≠±

3

，∴m=±1為所求．…（10分）
（2）∵直線l₁⊥l₂，且都過點(diǎn)P（0，-1），∴設(shè)直線l₁：y=kx-1，即kx-y-1=0，
直線l₂：y=-

1

k

x-1，即x+ky+k=0，…（12分）
∴圓心（0，0）到直線l₁：y=kx-1的距離為d=

1

1+k2

，
∴直線l₁：y=kx-1被圓x²+y²=4所截的弦TR=2

4-d2

=

2 3+4k2

1+k2

；
由x+ky+k=0與橢圓方程聯(lián)立，可得（k²+4）x²+8kx=0，
∴x_Q+x_P=-

8k

k2+4

，
∴|QP|=

8 k2+1

k2+4

         …（15分）
∴S_△TQR=

1

2

|QP||TR|=

8 4k2+3

k2+4

=

32

4k2+3 + 13 4k2 +3

≤

16

13

13

當(dāng)

4k2+3

=

13

4k2+3

，即k=±

10

2

時(shí)等號(hào)成立，
此時(shí)直線l₁：y=±

10

2

x-1．                                 …（18分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于中檔題．